Question

Решить уравнение $sqrt[3]{3+x}-sqrt[3]{x-6}=3$

Answer 1

такие решаются заменой перемtнных
u³ = 3+x
v³ = x-6
получаем систему
u³ - v³ = 3 + x - x + 6 = 9
u - v = 3
(u - v) (u² + uv + v²) = 9
u² + uv + v² = 3 (u-v=3)
(u - v)² + 3uv = 3
9 + 3uv = 3
uv = -2
u - v = 3  (u=3+v)
v(3+v) + 2 =0
v² + 3v + 2 =0
D=9-8=1
v₁₂=(-3+-1)/2=-2 -1
v₁=-1 u₁=2
v₂=-2 u₂=1
обратная замена 
u³=3+x
x₁ = 8 - 3 =5
x₂= 1 - 3 = -2
(желание задавшего вопрос закон для решающего 
v³=x-6
x₁=-1 + 6 = 5
x₂= -8 + 6 = -2
Корни совпали тем самым точно уверены что это решение)
Ответ -2  и 5

Answer 2

У меня есть небольшое замечание по решению. Мне кажется, надо x искать не только с помощью u, но и с помощью v, и если результат совпадет, только в этот момент утверждать x в качестве ответа. Или доказать, почему искать x из v не надо. С другой стороны, все точки над i ставит проверка, но о ней надо упомянуть.

Answer 3

по другому быть не может, что они не совпадут - мы плясали от этого. Но раз желаете то сделал. Корни совпали. Самое главное понять и решить.

Answer 4

Я серьезный вопрос задаю. Вы можете доказать теорему, что они всегда совпадают?

Answer 5

Вам решить уравнение надо ? Я вам дал метод, как решать такие уравнения. Самый простой метод решения это такой, Если хотите то можете в куб возвести и решитиь. По поводу теоремы я не понял какой ? Если вы решаете cистему x+y=1 x=y=2 и при этом доказываете какую то теорему , то я не в курсе