Question

Окружность, вписанная в треугольник MNK касается его сторон MК и NK соответственно в точках Е и F и пересекает биссектрису NL в точках С и D. Найдите отношение площадей треугольников CDE и CDF, если уголM = 45 и угол N= 60

Answer 1

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пересечения биссектрис, значит О∈NL
OE⊥MK, OF⊥KN как радиусы, проведенные в точки касания.
∠К = 180° - 45° - 60° = 75°
ΔKNL:
∠K = 75°, ∠N = 30°⇒∠L = 75°
ΔLEO:
∠E = 90°, ∠L = 75° ⇒ ∠LOE = 15°
ΔOFN:
∠F = 90°, ∠N = 30° ⇒ ∠FON = 60°

h₁ - высота ΔCDE, h₂ - высота ΔСDF.
sin15° = h₁/OE = h₁/R
sin60° = h₂/OF = h₂/R из соответствующих прямоугольных треугольников.
h₁ = Rsin15°
h₂ = Rsin60°

Scde = 1/2 CD·h₁ = 1/2 CD·Rsin15°
Scdf = 1/2 CD·h₂ = 1/2 CD·Rsin60°

Scde/Scdf = (1/2 CD·Rsin15°) / (1/2 CD·Rsin60°) = sin15° / sin60°