Question

Найдите все значения, которые принимает функция f(x)=(2x^2+x+1)/(3x^2-x+1)

Answer 1

$f(x)= frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+1}$
Найдем экстремумы
$f'(x)= frac{(4x+1)(3x^2-x+1)-(2x^2+x+1)(6x-1)}{(3x^2-x+1)^2} =0$
Приравниваем числитель к 0 и раскрываем скобки
12x^3+3x^2-4x^2-x+4x+1-12x^3-6x^2-6x+2x^2+x+1 = 0
-x^2 + 3x + 1 -4x^2 - 5x + 1 = 0
Приводим подобные и умножаем на -1
5x^2 + 2x - 2 = 0
D = 4 - 4*4(-2) = 44 = (2√11)^2

x1 = (-2 - 2√11)/10 = (-1 - √11)/5
$f(x1)=frac{2(-1- sqrt{11} )^2/25+(-1- sqrt{11} )/5+1}{3(-1- sqrt{11} )^2/25-(-1- sqrt{11} )/5+1}= frac{2(12+2 sqrt{11})-5-5 sqrt{11}+25}{3(12+2 sqrt{11} )+5+5 sqrt{11} +25} =$
$=frac{24+4 sqrt{11}-5-5 sqrt{11}+25}{36+6 sqrt{11} +5+5 sqrt{11} +25} =frac{44- sqrt{11}}{66+11 sqrt{11}} =frac{(44- sqrt{11})(6- sqrt{11} )}{11(6+sqrt{11})(6- sqrt{11} )} =$
$=frac{264-6sqrt{11}-44sqrt{11}+11}{11(36- 11)} =frac{275-50sqrt{11}}{11*25}=frac{11-2sqrt{11}}{11}=1- frac{2}{ sqrt{11} }$
Это минимальное значение

x2 = (-2 + 2√11)/10 = (-1 + √11)/5
$f(x2)=frac{2(-1+ sqrt{11} )^2/25+(-1+ sqrt{11} )/5+1}{3(-1+ sqrt{11} )^2/25-(-1+ sqrt{11} )/5+1}= frac{2(12-2 sqrt{11})-5+5 sqrt{11}+25}{3(12-2 sqrt{11} )+5-5 sqrt{11} +25} =$
$=frac{24-4 sqrt{11}-5+5 sqrt{11}+25}{36-6 sqrt{11} +5-5 sqrt{11} +25} =frac{44+ sqrt{11}}{66-11 sqrt{11}} =frac{(44+ sqrt{11})(6+ sqrt{11} )}{11(6-sqrt{11})(6+ sqrt{11} )} =$
$=frac{264+6sqrt{11}+44sqrt{11}+11}{11(36- 11)} =frac{275+50sqrt{11}}{11*25}=frac{11+2sqrt{11}}{11}=1+ frac{2}{ sqrt{11} }$
Это максимальное значение

Ответ: $f( frac{-1- sqrt{11} }{5} )=1- frac{2}{ sqrt{11} }$ - минимум
$f( frac{-1+ sqrt{11} }{5} )=1+ frac{2}{ sqrt{11} }$ - максимум