Question

Найти частное решение дифференциального уравнения у"+7у'+6у=0 у(0)=1; у'(0)=2

Answer 1

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение. которое имеет вид:
$displaystyle k^2+pk+q=0$


$displaystyle k^2+7k+6=0\D=49-24=25=5^5\k_1=-1; k_2=-6$

тогда общее решение данного уравнения примет вид:

$displaystyle y=C_1e^{-x}+C_2e^{-6x}$

найдем частное решение при условии 
y(0)=1 и y`(0)=2

Подставим х=0 в общее решение нашего уравнения

$displaystyle y(0)=C_1*e^0+C_2*e^0=C_1+C_2=1$

Теперь найдем производную

$displaystyle y`(x)=-1*C_1e^{-x}-6C_2e^{-6x}$

и найдем его значение при х=0

$displaystyle y`(0)=-C_1e^0-6C_2e^0=-C_1-6C_2=2$

получили систему. Решим ее

$displaystyle left { {{C_1+C_2=1} atop {-C_1-6C_2=2}} right\ left { {{C_1=1-C_2} atop {-(1-C_2)-6C_2=2}} right.\ left { {{C_1=1-C_2} atop {-5C_2=3}} right.\ left { {{C_1= frac{8}{5}} atop {C_2=- frac{3}{5}}} right.$

тогда частное решение  будет иметь вид

$displaystyle y= frac{8}{5}e^{-x}- frac{3}{5}e^{-6x}$

Answer 2

1. Классификация ДУ нет
2. После какой замены следует характеристическое уравнение

Answer 3

3. В 5 строке опечатка.

Answer 4

Теорию расписывать в вопросе не просили