Question

В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине 60° ,а апофема равна 12. Определить объм пирамиды.

Answer 1

$V = 1/3 * S_{osnovania} * H$

Так как угол при вершине равен 60 и пирамида правильная, ребром является правильный треугольник. Высота которого равна 12.

Высота в правильном треугольнике является медианой,высотой и биссектрисой. Следовательно можно разделить треугольник на две равные части (два прямоугольных треугольника) Тогда один угол выйдет 30*, второй 60* и третий 90*

Так как катет лежащий против угла 30* равен половине гипотенузы, пусть гипотенуза 2x, а катет против угла 30* = x.

Тогда по теореме Пифагора получим:
$4x^{2} = x^{2} +144 \ \ 3x^{2} = 144 \ \ x^{2} = 48 \ \ x=4 sqrt{3}$

Так как пирамида правильна, ее основание - квадрат.
$S_{osnovania} = a^{2} = (4 sqrt{3}) ^{2} =48$

Теперь осталось найти высоту.
Из прямоугольного треугольника гипотенузой которого служит апофема, а один из катетов высота, и зная что угол между проекцией апофемы на основание и самой апофемой равен 60, значит трейтий угол 30, катет лежащий против угла 30* равен половине гипотенузы, т.е. половина  12, = 6
По теореме Пифагора:
$h^{2} =144-36=108 \ \ h= 6 sqrt{3}$

$V= frac{1}{3} *6 sqrt{3}* 48=96 sqrt{3}$