Question

Решить уравнение:

а) xy' - 2y = x^3 + x

б) y'' - 12y + 36y = 14e^(6x)

Answer 1

а) x*y' - 2y = x^3 + x
Уравнение неоднородное 1 порядка.
Замена y = u*v, y' = u'*v + u*v'
x*u'*v + x*u*v' - 2u*v = x^3 + x
x*u'*v + u*(x*v' - 2v) = x^3 + x
Скобку приравниваем к 0
x*v' - 2v = 0
x*dv/dx = 2v
dv/v = 2dx/x
ln v = 2ln x = ln(x^2)
v = x^2
Подставляем в уравнение
x*u'*x^2 + u*0 = x^3 + x
u'*x^3 = x^3 + x
u' = 1 + 1/x^2
Решаем интегрированием
u = x - 1/x + C
Обратная замена
y = u*v = (x - 1/x + C)*x^2 = x^3 + Cx^2 - x

б) y'' - 12y' + 36y = 14e^(6x)
Неоднородное уравнение 2 порядка
y = y0 + y* (решение однородного + частное решение неоднородного)
Однородное
y'' - 12y' + 36y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 12k + 36 = 0
(k - 6)^2 = 0
k1 = k2 = 6
y0 = (C1 + C2*x)*e^(6x)
Находим частное решение неоднородного уравнения
Степень е равна 6x, 6 - кратный корень характеристического уравнения
y* = Ax^2*e^(6x) (A - это неизвестный коэффициент)
y*' = A(2x*e^(6x) + x^2*6e^(6x)) = A(2x + 6x^2)*e^(6x)
y*'' = A[(2 + 12x)*e^(6x) + (2x + 6x^2)*6e^(6x)] =
= A(2 + 12x + 12x + 36x^2)*e^(6x)
Подставляем в уравнение
A(2+24x+36x^2)*e^(6x) - 12A(2x+6x^2)*e^(6x) + 36Ax^2*e^(6x) = 14e^(6x)
Сокращаем e^(6x)
A(2 + 24x + 36x^2) - 12A(2x + 6x^2) + 36Ax^2 = 14
Раскрываем скобки
2A + 24Ax + 36Ax^2 - 24Ax - 72Ax^2 + 36Ax^2 = 14
2A = 14
A = 7
y* = 7x^2*e^(6x)
Окончательный ответ
y = y0 + y* = (C1 + C2*x)*e^(6x) + 7x^2*e^(6x)

Answer 2

$xy' - 2y = x^3 + x|:x\y'-frac{2}{x}y=x^2+1\y=uv;y'=u'v+v'u\u'v+v'u-2uv=x^2+1\u'v+u(v'-2v)=x^2+1\begin{cases}v'-frac{2}{x}v=0\u'v=x^2+1end{cases}\frac{dv}{dx}-frac{2v}{x}=0|*frac{dx}{v}\frac{dv}{v}-frac{2dx}{x}=0\frac{dv}{v}=frac{2dx}{x}\intfrac{dv}{v}=2int frac{dx}{x}\ln|v|=2ln|x|\v=x^2\u'x^2=x^2+1\frac{du}{dx}=1+frac{1}{x^2}|*dx\du=(1+frac{1}{x^2})dx\int du=int dx+int x^{-2}dx\u=x-frac{1}{x}+C\y=x^2(x-frac{1}{x}+C)=x^3-x+Cx^2$

$y''-12y'+36y=14e^{6x}\lambda^2-12lambda+36=0\(lambda-6)^2=0\lambda_{1,2}=6\Y=C_1e^{6x}+C_2xe^{6x}\hat{y}=Ax^2e^{6x}\hat{y}'=A(2xe^{6x}+6x^2e^{6x})=2Axe^{6x}+6Ax^2e^{6x}\hat{y}''=2A(e^{6x}+6xe^{x})+6A(2xe^{6x}+6x^2e^{6x})=36Ax^2e^{6x}+24Axe^{6x}+\+2Ae^{6x}\\36Ax^2e^{6x}+24Axe^{6x}+2Ae^{6x}-24Axe^{6x}-72Ax^2e^{6x}+36Ax^2e^{6x}=\=14e^{6x}\2Ae^{6x}=14e^{6x}\2A=14\A=7\hat{y}=7x^2e^{6x}\y=Y+hat{y}=C_1e^{6x}+C_2xe^{6x}+7x^2e^{6x}$