Question

Исследовать на сходимость ряд, помогите пожалуйста решить второе задание, если возможно с пояснениями 

Answer 1

$sum limits _{n=1}^{infty }, frac{lnn}{n^3+n+1}$

Известно неравенство:   $lnn<n$  , если $nto infty$  .
Сравним заданный ряд с рядом , общий член которого равен
 
    $frac{n}{n^3+n+1} sim frac{n}{n^3} = frac{1}{n^2}$  .

Сравним общие члены рядов:

$frac{lnn}{n^3+n+1} textless frac{n}{n^3+n+1} ; ; (star )\\\ frac{n}{n^3+n+1} sim frac{1}{n^2}$

Ряд   $sum limits _{n=1}^{infty }, frac{1}{n^2}$  -  обобщённо-гармонический сходящийся ряд .
Применим признак сравнения в предельной форме:

 $limlimits _{n to infty} frac{a_{n}}{b_{n}} = limlimits _{n to infty} frac{n}{n^3+n+1} :frac{1}{n^2} = limlimits _{n to infty} frac{n^3}{n^3+n+1} =1ne 0$

Так как предел не равен 0 , то оба ряда ведут себя одинаково, то есть сходятся. 
Из неравенства  $(star )$  следует, что ряд, общий член которого больше (мажорантный ряд), является сходящимся, значит и ряд с меньшим общим членом тоже будет сходящимся  (признак сравнения).
Значит , исходный ряд сходится.