Question

Решить уравнение $log5(5^x-4)=1-x$

Answer 1

$log_{5}( 5^{x}-4 ) =1-x$
ОДЗ:
$5^{x}-4 textgreater 0 5^{x} textgreater 4$
прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5:
$log_{5} 5^{x} textgreater log_{5}4$
x*log₅5>log₅4

x>log₅4.  x∈(log₅4;∞)

определение логарифма: $log_{a} b=n, = textgreater a^{n} =b$
$5^{x}-4= 5^{1-x}$
$5^{x}-4 = frac{ 5^{1} }{ 5^{x} } |* 5^{x}$
$( 5^{x} )^{2} -4* 5^{x}=5 ( 5^{x} )^{2} -4* 5^{x} -5=0$
показательное квадратное уравнение, замена переменной:
$5^{x}=t, t textgreater 0$
t²-4t-5=0. t₁=-1. t₂=5

-1<0, =>t₁=-1 посторонний корень.

обратная замена:
t=5, $5^{x} =5$
$5^{x}= 5^{1}$
простейшее показательное уравнение. степени с одинаковыми основаниями равны, => равны их показатели
х=1.  1∈(log₅4;∞), =>

ответ: х=1