Question

Найти частное решение дифференциального уравнения
y''+2y'+y=x+sinx
y(0)=0
y'(0)=0

Answer 1

$y''+2y'+y=x+sinx\lambda^2+2lambda^2+1=0\(lambda^2+1)^2=0\lambda_{1,2}=-1\Y=C_1e^{-x}+xC_2e^{-x}$
$hat{y}=Ax+B+Ccosx+Dsinx\hat{y}'=A-Csinx+Dcosx\hat{y}''=-Ccosx-Dsinx\-Ccosx-Dsinx+2A-2Csinx+2Dcosx+Ax+B+Ccosx+\+Dsinx=x+sinx\Ax+x^0(2A+B)-2Csinx+2Dcosx=x+sinx\x|1=A\x^0|0=2A+B= textgreater B=-2\sinx|1=-2C= textgreater C=-frac{1}{2}\cosx|0=2D= textgreater D=0\hat{y}=x-2-frac{1}{2}cosx$
$y=Y+hat{y}=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+x-2-frac{1}{2}cosx\y(0)=0:C_1-2-frac{1}{2}=0\C_1=frac{5}{2}\y'(0)=0:-C_1e^{-x}+C_2(e^{-x}-xe^{-x})+1+frac{1}{2}sinx=0\-C_1+C_2+1=0\-frac{5}{2}+C_2+1=0\C_2=frac{3}{2}\y=frac{5}{2}e^{-x}+frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-frac{1}{2}cosx$
Проверка:
$y=frac{5}{2}e^{-x}+frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-frac{1}{2}cosx\y'=-e^{-x}-frac{3}{2}xe^{-x}+1+frac{1}{2}sinx\y''=-frac{1}{2}e^{-x}+frac{3}{2}xe^{-x}+frac{1}{2}cosx\\-frac{1}{2}e^{-x}+frac{3}{2}xe^{-x}+frac{1}{2}cosx-2e^{-x}-3xe^{-x}+2+sinx+\\+frac{5}{2}e^{-x}+frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-frac{1}{2}cosx=x+sinx\x+sinx=x+sinx$
Ответ верный.