Question

Помогите, исследовать на сходимость ряды.

Answer 1

$\dfrac{1}{\ln(n+2)} \ \textgreater \ \dfrac{1}{\ln(n+3)}$
Данная последовательность монотонна

$\displaystyle \bigg| \frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n+2)} \bigg|= \frac{1}{\ln(n+2)} \to 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n\to \infty$

По признаку Лейбница ряд сходится абсолютно

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\cdot n!$

$n=1;\,\,\,\, 1\\ n=2;\,\,\, 2\\ n=3;\,\, 6\\ \\ 1\ \textless \ 2\ \textless \ 6$

$\lim_{n \to \infty} n!=\infty\ne 0$

По признаку Лейбница ряд расходится

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n\cdot\frac{n^2+1}{5n^3-2}$

$\displaystyle \bigg|(-1)^n\cdot \frac{n^2+1}{5n^3-2} \bigg|=\frac{n^2+1}{5n^3-2} \to 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\, n\to\infty$

По признаку Лейбница ряд сходится условно