Question

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить уравнение.
1. (1/16)^sin(x+π)=4^2√3cos(π-x).
2.Укажите, какие значения x принадлежат отрезку [5π/2 ; 4π].

Answer 1

исходное уравнение: 
$(\frac{1}{16})^{sin(\pi+x)}=4^{2\sqrt{3}cos(\pi-x)}$

представим обе части в виде степеней с одинаковыми основаниями: 
$(16^{-1})^{sin(\pi+x)}=(4^2)^{\sqrt{3}cos(\pi-x)}$, следовательно, $16^{-sin(\pi+x)}=16^{\sqrt{3}cos(\pi-x)}$

приравниваем показатели степеней, поскольку их основания идентичны: 
$-sin(\pi+x)=\sqrt{3}cos(\pi-x)$

вспоминаем, какие выражения равносильны $sin(\pi+x)$ и $cos(\pi-x)$ и переписываем получившееся уравнение: 
$-(-sinx)=\sqrt{3}*(-cosx)$

преобразовываем: 
$sinx=-\sqrt{3}cosx$

делим обе части на $cosx$, получая при этом уравнение относительно тангенса: 
$\frac{sinx}{cosx}=-\frac{\sqrt{3}cosx}{cosx}$ всё то же самое, что и 
$tgx=-\sqrt{3}$, следовательно, $x=\frac{2\pi}{3}+ \pi n,n \in Z$
также не забываем отобрать корни. 

итак, полный ответ к заданию: а) $x=\frac{2\pi}{3}+ \pi n,n \in Z$; б) $x=[\frac{8\pi}{3};\frac{11\pi}{3}]$

Answer 2

$( \frac{1}{16} )^{sin(x+ \pi )}=4^{2 \sqrt{3}cos( \pi -x) }$      $[ \frac{5 \pi }{2} ;4 \pi ]$

$( \frac{1}{16} )^{-sinx}=4^{-2 \sqrt{3}*cosx }$

$( 4^{-2} )^{-sinx}=4^{-2 \sqrt{3}*cosx }$

$4^{2sinx}=4^{-2 \sqrt{3}*cosx }$

$2sinx=-2 \sqrt{3}*cosx$

$sinx=- \sqrt{3}*cosx$  $|:$ $cosx \neq 0$

$tgx=- \sqrt{3}$

$x=arctg(- \sqrt{3} )+ \pi n,$  $n$ ∈ $Z$

$x=-arctg\sqrt{3}+ \pi n,$  $n$ ∈ $Z$

$x=- \frac{ \pi }{3} + \pi n,$  $n$ ∈ $Z$


$\frac{5 \pi }{2} \leq - \frac{ \pi }{3} + \pi n \leq 4 \pi$

$\frac{5 }{2} \leq - \frac{1 }{3} + n \leq 4$

$2 \frac{5}{6} \leq n \leq 4 \frac{1}{3}$

$n=3,$   $x= - \frac{ \pi }{3} + 3\pi = \frac{8 \pi }{3}$

$n=4,$   $- \frac{ \pi }{3} +4 \pi = \frac{11 \pi }{3}$

Ответ: $\frac{8 \pi }{3} ;$  $\frac{11 \pi }{3}$