Question

Диф уравнение 1 порядка y-√xy=xy'
Помогите срочно решить

Answer 1

Проверим условие однородности

$\lambda y-\sqrt{\lambda^2 xy}=\lambda xy'\\ \\ y-\sqrt{xy}=xy'$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным

Пусть $y=ux;\,\,\,\, y'=u'x+u$

$ux- \sqrt{ux^2} =x(u'x+u)\\ \\ u-\sqrt{u}=u'x +u\\ \\ - \sqrt{u} =u'x$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

$- \sqrt{u} =x \dfrac{du}{dx} \\ \\ \\ - \dfrac{du}{\sqrt{u}} = \dfrac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$-2 \sqrt{u} =\ln |x|+C\\ \\ u= \frac{1}{4} (\ln |x|-2C)^2$

Обратная замена

$\dfrac{y}{x} =\frac{1}{4} (\ln |x|-2C)^2\\ \\ \\ y=\frac{1}{4} x(\ln |x|-2C)^2= \frac{1}{4}x\ln^2|x|+C^2x+Cx\ln|x|$