Question

Это матан, первый курс, но если кто решит последние два (ну или три) задания с объяснениями - буду очень уважать
Очень

Answer 1

$4)\; \; xy'+y-3=0\; ,\; \; y(1)=2\\\\y'= \frac{3-y}{x} \; ,\; \; \; \frac{dy}{dx}=\frac{3-y}{x} \; ,\; \; \; \int \frac{dy}{3-y}=\int \frac{dx}{x} \\\\-ln|3-y|=ln|x|+ln|C_1|\\\\ln|x|+ln|3-y|=-ln|C_1|\; \; \; \; (-ln|C_1|=ln\frac{1}{|C_1|}=ln|C|)\\\\x\cdot (3-y)=C\\\\y(1)=2\; \to \; \; \; 1\cdot (3-2)=C\; \; \; \to \; \; \; C=1\\\\\underline {x\cdot (3-y)=1}\; \; \; -\; \; \; chastnoe\; reshenie$

$5)\; \; \sum \limits _{n=0}^{\infty } \frac{3^{n}}{\sqrt{2^{n}(3n-1)}} x^{n}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty} \Big | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \Big |= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{3^{n+1}\cdot |x|^{n+1}}{\sqrt{2^{n+1}(3n+2)}} \cdot \frac{\sqrt{2^{n}(3n-1)}}{3^{n}\cdot |x|^{n}} =\\\\= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{3^{n}\cdot 3\cdot |x|^{n}\cdot |x|\cdot (\sqrt2)^{n}\cdot \sqrt{3n-1}}{(\sqrt{2})^{n}\cdot \sqrt2\cdot \sqrt{3n+2}\cdot 3^{n}\cdot |x|^{n}} = \frac{3\cdot |x|}{\sqrt2} \ \textless \ 1$

$|x|\ \textless \ \frac{\sqrt2}{3}\; \; \; \; \to \; \; \; -\frac{\sqrt2}{3}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\sqrt2}{3} \\\\x= \frac{\sqrt2}{3}\; :\; \; \sum \limits _{n=0}^{\infty } \frac{3^{n}\cdot (\sqrt2)^{n}}{3^{n}\cdot \sqrt{2^{n}(3n-1)}} =\sum \limits _{n=0}^{\infty } \, \frac{1}{\sqrt{3n-1}} \; \; -\; \; rasxoditsya\\\\(sravnit\; s\; \sum \frac{1}{\sqrt{n} }\; )\\\\x=-\frac{\sqrt2}{3}\; :\; \; \sum \limits _{n=0}^{\infty } \, \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{3n-1}}\; -\; \; yslovno\; sxoditsya\\\\(\; po\; priznaky\; Lejbnica)\\\\Oblast\; sxodimosti:\; \; x\in [-\frac{\sqrt2}{3}\, ;\, \frac{\sqrt2}{3})\; .$