Question

40 баллов!!! Подробно, пожалуйста, решите.

Answer 1

x^2 + 4x + 9 = x^2 + 4x + 4 + 5 = (x + 2)^2 + 5
Знаменатель не обращается в 0 на всей вещественной прямой (в частности - на промежутке интегрирования) и на бесконечности пропорционален x^2, ==> интеграл сходится

(x + 2)^2 + 5 = 5[ (x/√5 + 2/√5)^2 + 1 ]
u = (x + 2)/√5, du = dx/√5, dx = du√5$\int\limits^{oo}_{-2} {\frac{dx}{x^2 + 4x + 9} } \ = \frac{1}{5} \int\limits^{oo}_{-2} { \frac{dx}{( \frac{x + 2}{ \sqrt{5}} )^2 + 1} } \ = \frac{1}{\sqrt{5}} \int\limits^{oo}_{0}{\frac{du}{u^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} arctg(u)|_0^{oo} =$
$= \frac{ \pi }{2\sqrt{5}}$