Question

Помогите решить уравнение с ЕГЭ

(1/81)^cosx=9^$\sqrt{2}$sin2x

Answer 1

$( \frac{1}{81} )^{cosx} = 9^{ \sqrt{2}sin x2}$
простейшее показательное уравнение
$( \frac{1}{81} )^{cosx}= ( 9^{-2} )^{cosx} = 9^{-2cosx} 9^{-2cosx} = 9^{ \sqrt{2} sin2x}$

основания степени равны, => равны их показатели, решить тригонометрическое уравнение:
-2cosx=√2sin2x
-2cosx=√2*2sinx*cosx

2cosx+2*√2*sinx*cosx=0
2cosx*(1+√2*sinx)=0
2cosx=0 или 1+√2*sinx=0

1. 2cosx=0. cosx=0. x=π/2+πn, n∈Z

2. 1+√2*sinx=0,  sinx=-1/√2.   -1/√2=-√2/2
$x= (-1)^{n} *arcsin(- \frac{ \sqrt{2} }{2} )+ \pi n,$ n∈Z
x=$x= (-1)^{n+1} *arcsin \frac{ \sqrt{2} } {2}+ \pi n,$ n∈Z
$x= (-1)^{n+1}* \frac{ \pi }{4}+ \pi n,$ n∈Z

ответ: $x_{1} = \frac{ \pi }{2} + \pi n,$ n∈Z
$x_{2}= (-1)^{n+1}* \frac{ \pi }{4}+ \pi n,$ n∈Z