Question

Неопределённый интеграл: 1) sin3x*cos5xdx
Определённый интеграл: 1) от 0 до 1 arcsin^3 2x/ sqrt(1-4x^2) dx

Answer 1

$1)\; \; \int sin3x\cdot cos5x\, dx=\int \frac{1}{2}\cdot (sin8x+sin(-2x))dx=\\\\=\frac{1}{2} \int sin8x\, dx- \frac{1}{2}\int sin2x\, dx=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{8}\cdot cos8x)-\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}\cdot cos2x)+C =\\\\= -\frac{1}{16} \cdot cos8x+ \frac{1}{4}\cdot cos2x+C$

$2)\; \; \int\limits^1_0 \frac{arcsin^32x}{\sqrt{1-4x^2}} dx=[\; t=arcsin2x\; ,\; dt= \frac{2\, dx}{\sqrt{1-4x^2}} \; ]= \\\\=\int\limits^{arcsin2}_0 \; t^3\cdot\frac{dt}{2} = \frac{t^4}{2\cdot 4}\Big |_0^{arcsin2} = \frac{1}{8}\cdot (arcsin2 )^4$