Question

Интеграл и его применение. Решить 3 примера

Answer 1

$1)\; \; \int (1-5x^2)\, e^{x}\, dx=[\, u=1-5x^2\; ,\; du=-10x\, dx\; ,\; \\\\dv=e^{x}\, dx\; ,\; v=e^{x}\; ]=(1-5x^2)\, e^{x}-\int -10x\, e^{x}\, dx=\\\\=[\, u=x\; ,\; du=dx\; ,\; v=e^{x}\; ]=(1-5x^2)\, e^{x}+10\cdot (x\, e^{x}-\int e^{x}\, dx)=\\\\=(1-5x^2)\, e^{x}+10x\, e^{x}-10e^{x}+C=e^{x}\cdot (-5x^2+10x-9)+C$

$2)\; \; \int \frac{2x-5}{(x+1)(x-4)} dx=\frac{7}{5}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{3}{5}\int \frac{dx}{x-4}=\frac{7}{5}\, ln|x+1|+\frac{3}{5}\, ln|x-4|+C$

$\frac{2x-5}{(x+1)(x-4)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-4} \\\\2x-5=A(x-4)+B(x+1)\\\\x=4:\; \; 8-5=5B\; ,\; B=\frac{3}{5}\\\\x=-1:\; \; -2-5=-5A\; ,\; \; A= \frac{7}{5}$

$3)\; \; \int sin^2x\cdot cosx\, dx=[\; t=sinx,\; dt=cosx\, dx\; ]=\\\\=\int t^2\, dt= \frac{t^3}{3}+C= \frac{sin^3x}{3} +C$