Question

Вычислить интеграл . Помогите . Кто может.

Answer 1

Найдём сначала точки пересечения гиперболы ху=6 и прямой х+у=7 .

$\left \{ {{xy=6} \atop {x+y=7}} \right. \; \left \{ {{x(7-x)=6} \atop {y=7-x}} \right. \; \; \left \{ {{x^2-7x+6=0} \atop {y=7-x}} \right. \; \left \{ {{x_1=1\; ,\; x_2=6} \atop {y_1=6\; ,\; y_2=1}} \right.$

$\iint \limits _{D}\, x\cdot dx\, dy= \int\limits^6_1 \, x\, dx \int\limits^{7-x}_{\frac{6}{x}} \, dy = \int\limits^6_1 \, x\, dx \Big (y\Big |_{\frac{6}{x}}^{7-x}\Big )=\\\\= \int\limits^6_1 \; {x\, (7-x-\frac{6}{x})} \, dx = \int\limits^6_1 \, (7x-x^2-6) \, dx =\\\\=( \frac{7x^2}{2} -\frac{x^3}{3}-6x)\Big |_1^6= (\frac{252}{2} - \frac{216}{3}-36 )-( \frac{7}{2} -\frac{1}{3} -6)=\\\\=\frac{245}{2} - \frac{215}{3} -30= \frac{125}{6} =20\frac{5}{6}$