Question

В урне 7 красных, 3 синих и 4 белых шаров. Из урны последовательно вынимают три шара, не возвращая в урну. Какова вероятность того, что будут вынуты красный, синий и белый в указанном порядке? Какова будет эта вероятность, если шар вынимают, фиксируют его цвет и возвращают в урну, после чего берут следующий шар?

Answer 1

Со вторым случаем все просто, достаточно использовать классическое определение вероятности, т.е. вероятность какой-то реализации события - отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Всего в корзине 14 шаров, т.о. общее число исходов = 14. Благоприятными же исходами для каждого из цветов будет кол-во шаров этого же цвета. Т.е.
вероятность вытащить красный шар = P(красный) = 7/14 = 50%;
синий -  P(синий) = 3/14; белый - P(белый) = 4/14 = 2/7.
Т.к. события несовместны, то вероятность того, что произойдут все 3 равна произведения вероятностей или
P(красный, синий, белый) = 7 * 3 * 4 / (14 * 14 * 14) = 84 / 2744 =  21 /  686 = 3 / 98 ~ 3.1%

Теперь вернемся к первому случаю. Делаем все так же, только учитываем, что кол-во шаров уменьшается. Т.о. вероятность вытащить красный = P(красный) = 7/14 = 50% - не изменится; синий = 3/13, т.к. на один шар стало меньше; белый = 4/12 = 1/3 ~ 33%.
Далее опять считаем общую вероятность целого события.
P(красный, синий, белый) = 7 * 3 * 4 / (14 * 13 * 12) = 1/26 ~ 4 процента.
Т.о., если шары не возвращать обратно, вероятность вытаскивания искомой комбинации возрастает.