Question

Исследовать на сходимость ряд

Answer 1

$sum^ infty _{n=1} 2^{n-1}e^{-n}$

Сходимость ряда определена по признаку Даламбера.

Признак Даламбера:  . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: $lim_{n to infty} frac{a_{n +1}}{a_n } =q$, то:

а) При  q<1 ряд сходится. 
б) При q>=1  ряд расходится. 
в) При q=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. 

$\ lim_{n to infty} frac{ 2^{n-1+1}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} =lim_{n to infty} frac{ 2^{n}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} = \ =lim_{n to infty} frac{ 2^{n}e^{-n}*e^1}{ 2^{n}*2^{-1}e^{-n}} =lim_{n to infty} frac{ e^1}{ 2^{-1}} =2e$

2e>1  следовательно ряд расходится