Question

y'+ycos x=2cosx y(0)=4

Answer 1

$y'+(y-2)cos x=0; (y-2)'=-(y-2)cos x; y-2=p(x);$

$p'=-pcos x -$ это линейное однородное уравнение; чтобы его решить, достаточно угадать ненулевое частное решение $p_1(x);$ общее решение будет иметь вид $p=Cp_1(x).$ Анализируем информацию. При взятии производной, функция p(x) не изменилась (так ведет себя показательная функция), но умножилась на $-cos x,$ что есть производная $-sin x.$ Поэтому в качестве $p_1(x)$ можно взять $p_1(x)=e^{-sin x}Rightarrow p=Ce^{-sin x}.$ Отсюда $y=2+Ce^{-sin x}$. Остается найти решение, удовлетворяющее начальным условиям: 

$left { {{y=4} atop {x=0}} right. Rightarrow$ $4=2+Ce^{0}; C=2Rightarrow y=2+2e^{-sin x}$

Ответ: $y=2+2e^{-sin x}$