Question

Показательное уравнение.
Найти увеличенный в 6 раз корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:
$( sqrt{5} - sqrt{2} ) 3^{x} - frac{ 3^{4-x} }{ sqrt{5} + sqrt{2} } - ( sqrt{6}- sqrt{2} ) 2^{1-2x} + frac{ 2^{2x-3} }{ sqrt{6} + sqrt{2} } =0$

Answer 1

Во-первых, заметим, что (√5-√2)(√5+√2) = 5 - 2 = 3, поэтому
$frac{1}{ sqrt{5} + sqrt{2} } = frac{sqrt{5} - sqrt{2}}{3}$
Точно также, (√6-√2)(√6+√2) = 6 - 2 = 4, поэтому $frac{1}{ sqrt{6} + sqrt{2} } = frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{4}$
Подставляем$(sqrt{5} - sqrt{2})*3^x- frac{sqrt{5} - sqrt{2}}{3}* frac{3^4}{3^x}-(sqrt{6} - sqrt{2})* frac{2}{2^{2x}}+ frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{4}* frac{2^{2x}}{2^3} =0$
$(sqrt{5} - sqrt{2})*(3^x- frac{27}{3^x})-(sqrt{6} - sqrt{2})*( frac{2}{2^{2x}}- frac{2^{2x}}{32}) =0$
$(sqrt{5} - sqrt{2})*(3^x- frac{27}{3^x})+ frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{32} *(2^{2x}- frac{64}{2^{2x}}) =0$
$(sqrt{5} - sqrt{2})*(3^x- frac{3^3}{3^x})+ frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{32} *(4^{x}- frac{4^3}{4^{x}}) =0$
В общем, дальше я не знаю, что делать, разложить их на множители не получается.
Вольфрам Альфа показывает, что единственный корень x = 3/2;
соответственно ответ: 6x = 6*3/2 = 9

Answer 2

$displaystyle( sqrt{5} - sqrt{2} ) 3^{x} - frac{ 3^{4-x} }{ sqrt{5} + sqrt{2} } - ( sqrt{6}- sqrt{2} ) 2^{1-2x} + frac{ 2^{2x-3} }{ sqrt{6} + sqrt{2} } =0\frac{3^{x+1}-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}+frac{-2^{3-2x}+2^{2x-3}}{sqrt6+sqrt2}=0|*(sqrt5+sqrt2)(sqrt6+sqrt2)\(sqrt6+sqrt2)(3^{x+1}-3^{4-x})+(sqrt5+sqrt2)(2^{2x-3}-2^{3-2x})=0$
На этом месте следствие зашло в тупик, т.к. логичных преобразований не нашлось поэтому было принято решение действовать в лоб.Если посмотреть на выражение можно предположить что выражение примет значение 0, если оба слагаемых будут 0.Поэтому:
$begin{cases}3^{x+1}-3^{4-x}=0\2^{2x-3}-2^{3-2x}=0end{cases}\3^{x+1}-3^{4-x}=0 2^{2x-3}-2^{3-2x}=0\3^{x+1}=3^{4-x} 2^{2x-3}=2^{3-2x}\x+1=4-x 2x-3=3-2x\2x=3 4x=6\x=1,5 x=1,5$
Получено одно решение, поэтому ответ будет 6*1,5=9

Answer 3

Не не не... я же завел дроби под общие знаменатели, подведя под формулу (a-b)(a+b)=a^2-b^2

Answer 4

А если имеется ввиду преобразования Mefody ,то это константы, и как бы записывать в систему без толку ибо что х=0, что ax=0|:a=>x=0

Answer 5

Все правильно, осталось только доказать, что сумма равна 0 только тогда, когда оба слагаемых равны 0 одновременно.

Answer 6

Все доказано по сути, из обоих выражений получился одинаковый ответ, если бы его не было, значится выражение не имеет решений

Answer 7

Понятно