Question

xy'''+y''=x+1
найти решение дифференциального уравнение

Answer 1

Это дифференциальное уравнение третьего порядка независящее явным образом от неизвестной функции у. Тогда порядок производной может быть понижен с помощью следующей замены

Пусть $y''=z(x)\ y'''=z'(x)$

Тогда имеем

$xz'+z=x+1$

Перейдем к дифференциалам

$xcdot dfrac{dz}{dx} +z=x+1$

Представим левую часть уравнения в следующем виде:

$displaystyle xcdot frac{dz}{dx} + zcdotfrac{dx}{dx} =x+1$

По свойству дифференциала произведения

$displaystyle frac{d(xcdot z)}{dx}=x+1\ \ \ d(xcdot z)=(x+1)dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$xz= dfrac{x^2}{2} +x+C_1\ \\ z= dfrac{x}{2} +1+ dfrac{C_1}{x}$

Выполним обратную замену

$y''= dfrac{x}{2} +1+ dfrac{C_1}{x}$

интегрируя почленно два раза, получаем

$displaystyle y'= frac{x^2}{4} + C_1ln|x|+x+C_2\ \ \ boxed{y= frac{x^3}{12} + frac{x^2}{2} -C_1x+C_1xln|x|+C_2x+C_3}$

Нашли общее решение.