Question

Помогите пожалуйста доказать неравенство!
Я просто не очень силён в неравенства, если не сложно немного поясните

Answer 1

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) geq 8abc ; ,; ; ; ; ; a,; b,; c; textgreater 0$

Воспользуемся известным неравенством Коши:

$x+y geq 2sqrt{xy}; ,; ; ; xy geq 0\\Esli; ; x=1; ,; ; y=a^2; ; Rightarrow ; ; 1+a^2 geq 2sqrt{1cdot a^2}; ,; ; ; 1+a^2geq 2a$

Аналогично, $1+b^2geq 2b; ,; ; 1+c^2geq 2c$  .
Перемножим три последних неравенства (они с одинаковыми знаками):

$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) geq 2acdot 2bcdot 2c\\(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) geq 8abc$