Question

Образует ли метрику на числовой прямой функция: ρ(x, y) = |sin(x − y)| ?
Задает ли функция x → f(x) норму на множестве f(x) = ln(1 + |x|) на числовой прямой ?
Задает ли скалярное произведение (x,y) = 2x^2 +2y^2 на числовой прямой ?

Answer 1

1)
ρ(x, y) = |sin(x − y)|

Нарушается аксиома тождества:
Должно быть:
$rho(x,y)=0 Leftrightarrow x=y$
Для данной функции:
$rho(x,y)=0 Leftrightarrow x=y + pi k,, k in mathbb{Z}$

2)
f(x) = ln(1 + |x|)

Должно быть:
$|lambda x|=|lambda||x|$
Например, при $x=e-1 ,,,( textgreater 0)\lambda = 2$
$f(lambda x)=ln(2e-1)\ |lambda|f(x)=2, ln(e)=2=ln(2e)\ln(2e)neq ln(2e-1)$

3)
$(x,y) = 2x^2 +2y^2$

Скалярное произведение должно быть линейно по первому аргументу.

Например,
$(2x,y)=2(4x^2)+2y^2=8x^2+2y^2\ 2(x,y)=4x^2+4y^2\(2x,y)=2(x,y)\4x^2=2y^2$

Выполняется явно не для всех действительных x и y