Question

Производная второго порядка:

1) sin(x)/(1+sin(x))
2) xsin(x^3)
4) Частные производные второго порядка u=(x+y)/(x^2+y^2)

Answer 1

$1)quad y= frac{sinx}{1+sinx} \\y'= frac{cosx(1+sinx)-sinxcdot cosx}{(1+sinx)^2} =frac{cosx}{(1+sinx)^2} \\y''= frac{-sinx(1+sinx)^2-cosxcdot 2(1+sinx)cdot cosx}{(1+sinx)^4} = frac{-sinx(1+sinx)-2cos^2x}{(1+sinx)^3}\\2); ; y=xcdot sin(x^3)\\y'=sin(x^3)+xcdot cos(x^3)cdot 3x^2=sin(x^3)+3x^3cdot cos(x^3)\\y''=cos(x^3)cdot 3x^2+9x^2cdot cos(x^3)+3x^3cdot (-sin(x^3))cdot 3x^2=\\=3x^2cdot cos(x^3)+9x^2cdot cos(x^3)-9x^5cdot sin(x^3)$

$3); ; u= frac{x+y}{x^2+y^2} \\u'_{x}= frac{x^2+y^2-(x+y)cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = frac{y^2-x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2} \\u''_{xx}= frac{(-2x-2y)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2-2xy)cdot 2(x^2+y^2)cdot 2x}{(x^2+y^2)^4} = \\=frac{-2(x+y)(x^2+y^2)-4x(y^2-x^2-2xy)}{(x^2+y^2)^3} \\u''_{xy}= frac{(2y-2x)(x^2+y^2)^2-(y^2-x^2-2xy)cdot 2(x^2+y^2)cdot 2y}{(x^2+y^2)^4}=\\=frac{2(y-x)(x^2+y^2)-4y(y^2-x^2-2xy)}{(x^2+y^2)^3}$

$u'_{y}= frac{x^2+y^2-(x+y)cdot 2y}{(x^2+y^2)^2}= frac{x^2-y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2} \\u''_{yy}= frac{(-2y-2x)(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2-2xy)cdot 2(x^2+y^2)cdot 2y}{(x^2+y^2)^4}=\\= frac{-2(x+y)(x^2+y^2)-4y(x^2-y^2-2xy)}{(x^2+y^2)^3}\\u''_{yx}=u''_{xy}$

Answer 2

Решение в четырёх приложениях.