Question

дифференциальное уравнение: (x^2)y'=(3x^2)+xy-(y^2) .На фото есть пример как решать. Сама в этом ничего не понимаю. Помогите пожалуйста дорешать уравнение.

Answer 1

$x^2y'=3x^2+xy-y^2\\y=tx; ,; ; y'=t'x+t; ,; ; t=frac{y}{x}\\x^2(t'x+t)=3x^2+xcdot tx-(tx)^2\\x^2(t'x+t)=3x^2+tx^2-t^2x^2; |:x^2\\t'x+t=3+t-t^2\\t'x=3-t^2\\frac{dt}{dx}=frac{3-t^2}{x}\\int frac{dt}{3-t^2}= frac{dx}{x} \\ -int frac{dt}{t^2-(sqrt3)^2} =int frac{dx}{x}\\- frac{1}{2sqrt3} cdot lnBig | frac{t-sqrt3}{t+sqrt3} Big |=ln|x|+ln|C|\\frac{1}{2sqrt3}cdot lnBig | frac{sqrt3+t}{sqrt3-t} Big |=ln|Cx|$

$lnBig | frac{sqrt3+frac{y}{x}}{sqrt3-frac{y}{x}}Big |=ln|Cx|$

$lnBig | frac{sqrt3x+y}{sqrt3x-y} Big |=2sqrt3cdot ln|Cx|\\ frac{sqrt3x+y}{sqrt3x-y} =Big (CxBig )^{2sqrt3}$