Question

Докажите по индукции что:
1*2*3*...*n>=2^n-1 при n>=3

Answer 1

При к=3
$1*2*3 geq 2^2\ 6 geq 4$
утверждение верно.
Предположим, что при k=n-1 (n>=4) утверждение верно
$1*2*3*...*(n-1) geq 2^{n-2}$,
и докажем, что оно верно при k=n (n>=3).
Действительно,
$1*2*3*...*(n-1)*n geq n*2^{n-2}= frac{n}{2} *2^{n-1} textgreater 2^{n-1}$,
так как $frac{n}{2} textgreater 1$ при $n geq 3$.
Следовательно, утверждение верно для любого натурального n больше 2.