Question

Найдите сумму всех действительных корней уравнения (1+x+x^2)(1+x+…+x^10)=(1+x+…+x6)^2

Answer 1

1 + x + x^2 = (x^3 - 1)/(x - 1)
1 + x + x^2 + ... + x^10 = (x^11 - 1)/(x - 1)
1 + x + x^2 + ... + x^6 = (x^7 - 1)/(x - 1)

(x^3 - 1)(x^11 - 1) / (x - 1)^2 = (x^7 - 1)^2 / (x - 1)^2

(x^3 - 1)(x^11 - 1) = (x^7 - 1)^2
x^14 - x^11 - x^3 + 1 = x^14 - 2x^7 + 1
x^11 - 2x^7 + x^3 = 0
x^3 * (x^8 - 2x^4 + 1) = 0
x^3 * (x^4 - 1)^2 = 0

x^3 = 0 или x^4 - 1 = 0
x = 0 или x = +-1

Проверка:
x = 0: 1 * 1 = 1^2 - верно
x = 1: 3 * 11 = 7^2 - неверно
x = -1: 1 * 1 = 1^2 - верно

Сумма корней 0 + (-1) = -1.