Question

вычислить приближенно с точностью 0,001 интеграл , разлагая подинтегральную функцию в степенной ряд ∫ от0 до0,5 dx/(1+x^4)^1/4

Answer 1

Разложим функцию f(t)=1/(1+t)^(1/4) около точки t = 0, оставив только первые два члена:

$dfrac{1}{(1+t)^{1/4}}=1-dfrac t4+R_1(t)$

Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа. Мы будем вместо t подставлять x^4, x изменяется от 0 до 0,5, значит, t изменяется от 0 до 1/16.

$R_1(t)=dfrac{f''(xi)t^2}{2!},quad xiinleft[0,dfrac1{16}right]$
$|R_1(t)|=left|dfrac5{16(xi+1)^{9/4}}cdotdfrac{t^2}2right|leqslantdfrac5{16}cdotdfrac{1/16^2}{2} textless 0.001$

$displaystyle int_0^{0.5}(1-x^4/4),dx=0.5-frac{0.5^5}{20}=frac{319}{640}approx0.498$

Проверим, что нужная точность достигнута:
$displaystyleleft|int_0^{0.5}frac{dx}{sqrt[4]{1+x^4}}-int _0^{0.5}left(1-frac{x^4}4right),dxright|=left|int_0^{0.5}R_1(t(x)),dxright|leqslant0.5|R_1| textless \ textless 0.001$

Ответ. 0,498

Answer 2

Спасибо большое