Question

найти общее решение дифф. уравнения y'''+4y''+5y'+2y=(12x+16)*e^x

Answer 1

Найдем сначала общее однородное уравнение

$y'''+4y''+5y'+2y=0$

Перейдем к характеристическому уравнению. 
Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем

$k^3+4k^2+5k+2=0\ k^3+k^2+3k^2+3k+2k+2=0\ k^2(k+1)+3k(k+1)+2(k+1)=0\ (k+1)(k^2+3k+2)=0\ (k+1)(k^2+k+2k+2)=0\ (k+1)(k(k+1)+2(k+1))=0\ (k+1)^2(k+2)=0\ k=-1\ k=-2$

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_o=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}$

Нахождение частного решения;

$y'''+4y''+5y'+2y=4e^x(3x+4)$

n=1 то частное решение будем искать в виде: $widetilde{y}=e^x(Ax+B)$

Найдем производные

$y'=e^x(Ax+A+B)\ \ y''=e^x(2A+Ax+B)\ \ y'''=e^x(B+3A+Ax)$

Подставим в исходное уравнение, сократив на $e^x$

$B+3A+Ax+8A+4Ax+4B+5Ax+5A+5B+2Ax+2B=\ \ \ =12x+16\ \ \ 12Ax+16A+12B=12x+16$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$displaystyle left { {{12A=12} atop {16A+12B=16}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right.$

Тогда решение частного решения будет иметь вид:

$widetilde{y}=xe^x$

Общее решение данного дифференциального уравнения:

$boxed{dot{y}=y_o+widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}+xe^x}$