Question

Как решить интеграл?
1) X cos 2x dx


2)cosx•cos3x dx

Answer 1

1)
Интегрирование по частям:

$int f(x)dg(x)=f(x)g(x)-int g(x)df(x)\f(x)=x,dg(x)=cos2xRightarrow df(x)=dx,g(x)={1over2}sin(2x)\{1over2}(xsin(2x)-int sin(2x)dx)={xsin(2x)over2}+{cos(2x)over4}+C$

2)
$cosx,cos3x={1over2}(cos(-2x)+cos(4x))={1over2}(cos2x+cos4x)Rightarrow\Rightarrow int cosx,cos3x,dx={1over4}sin2x+{1over8}sin4x+C={1over2}sinxcosx+\+{1over2}sinxcosxcos2x+C={1over2}sinxcosx(1+2cos^2x-1)+C=\=sinxcos^3x+C$