Question

определенные интегралы

Answer 1

1)Несобственный интеграл 2-го рода (бесконечный разрыв в точке x=-2)
$intlimits^0_{-2} frac{dx}{x^2-4}\frac{1}{x^2-4}=frac{A}{x-2}+frac{B}{x+2}=frac{1}{4(x-2)}-frac{1}{4(x+2)}\1=A(x+2)+B(x-2)\x^0|1=2A-2B\x|0=A+B= textgreater A=-B\1=-2B-2B\1=-4B\B=-frac{1}{4} ;A=frac{1}{4}$$intlimits^0_{-2} frac{dx}{x^2-4}= lim_{a to -2+0}intlimits^0_{-2}(frac{1}{4(x-2)}-frac{1}{4(x+2)}dx=\=lim_{a to -2+0}(frac{1}{4}intlimits^0_{-2}frac{dx}{(x-2)}-frac{1}{4}intlimits^0_{-2}frac{dx}{(x+2)})=\frac{1}{4}lim_{a to -2+0}(ln|x-2|-ln|x+2|)|^0_{-2}=\=frac{1}{4}lim_{a to -2+0}(ln|frac{x-2}{x+2}|)|^0_{-2}=frac{1}{4}lim_{a to -2+0}(ln|-1|-ln|frac{a-2}{a+2}|)=\=ln|-1|-ln|-infty|=ln|infty|=infty$
Интеграл расходится

2)
$intlimits^4_1 {frac{dx}{sqrt x+3}}\x=t^2;sqrt x=t;dx=2tdt\ intlimits^4_1 {frac{dx}{sqrt x+3}}= intlimits^4_1 {frac{2tdt}{t+3}}=2intlimits^4_1 {frac{t+3-3 dt}{t+3}}=2intlimits^4_1(1-frac{3}{t+3})dt=(2t-6ln|t+3|)|^4_1=\=(2sqrt x-6ln|sqrt x+3|)|^4_1=4-6ln|5|-2+6ln|4|=2+6ln|0,8|approx\approx0,66$

3)
$intlimits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}\u=x^2= textgreater du=2xdx\dv=e^{-2x}dx= textgreater v=-frac{1}{2}e^{-2x}\ intlimits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}=-frac{1}{2}x^2e^{-2x}|^1_0+intlimits^1_0xe^{-2x}dx\intlimits^1_0xe^{-2x}dx\u=x= textgreater du=dx\dv=e^{-2x}dx= textgreater v=-frac{1}{2}e^{-2x}\intlimits^1_0xe^{-2x}dx=-frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0+frac{1}{2}intlimits^1_0e^{-2x}dx=-frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0-frac{1}{4}e^{-2x}|^1_0$
$intlimits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}=-frac{1}{2}x^2e^{-2x}|^1_0-frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0-frac{1}{4}e^{-2x}|^1_0=\=(-frac{1}{2}x^2e^{-2x}-frac{1}{2}xe^{-2x}-frac{1}{4}e^{-2x})|^1_0=\=-frac{1}{2}e^{-2}-frac{1}{2}e^{-2}-frac{1}{4}e^{-2}+frac{1}{4}=-frac{5}{4}e^{-2}+frac{1}{4}approx0,08$