иследовать функцию y=f(x) и построить ее график
x-x^3
Ответы
Область определения функции. ОДЗ:-∞<x<∞
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в
у= x - x^3.
Результат: y=0. Точка: (0, 0)
Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
x-x^3 = 0, x(1-x^2) = 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
1. x=0. Точка: (0, 0)
2. x=-√1. Точка: (-1, 0).
3. x=√1. Точка: (1, 0).
Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y'=-3*x^2 + 1=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
x2 = 1/3, x = +-(1/√3).
1. x=-1/√3. Точка: (-1/√3, -2/(3√3)).
2. x=1. Точка: (1/√3, 2/3√3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим, как ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
· Минимумы функции в точке: -1/√3,
· Максимумы функции в точке: 1/√3.
· Возрастает на промежутках: [(-1/√3), ((1/√3)]
· Убывает на промежутках: (-oo, (-1/√3)] U [(1/√3), oo).
Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо
решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного
уравнения будут точками перегибов указанного графика функции,
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности
функции:
y''=-6*x=0
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
1. x=0. Точка: (0, 0)
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:
· Вогнутая на промежутках: (-oo, 0]
· Выпуклая на промежутках: [0, oo)
Вертикальные асимптоты - Нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :
· lim x-x^3, x->+oo = -oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существует.
· lim x-x^3, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :
· lim x-x^3/x, x->+oo = -oo, значит, наклонной асимптоты справа не существует.
· lim x-x^3/x, x->-oo = -oo, значит, наклонной асимптоты слева не существует.
Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:
· x-x^3 = x^3 - x – Нет.
· x-x^3 = -(x^3 - x) – Да.
Значит, функция является нечётной.