Question

(1) В чём заключается метод математической индукции?
б(2) Пользуясь методом математической индукции, докажите, что

Answer 1

Суть данного метода заключается в следующем :
1) Базис индукции (проверяется справедливость утверждения для n=1)
2) Предполагается справедливость утверждения для n=k
3) Индукционный переход (с учетом предположения 2 пункта устанавливается справедливость для n=k+1)

$1+2+...+n= dfrac{n(n+1)}{2}$

1) Базис индукции
$n=1;,,,,, 1= dfrac{1cdot(1+1)}{2}\ \.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 1=1$
Утверждение выполняется

2) Предположим, что и для $n=k$ тоже выполняется

$1+2+...+k= dfrac{k(k+1)}{2}$

3) Индукционный переход
$n=k+1$

$underbrace{1+2+...+k}_big{frac{k(k+1)}{2} }+k+1=dfrac{(k+2)(k+1)}{2} \ \ \ dfrac{k(k+1)}{2} +k+1=dfrac{(k+2)(k+1)}{2} \ \ \ dfrac{k(k+1)+2(k+1)}{2} =dfrac{(k+2)(k+1)}{2} \ \ \ dfrac{(k+2)(k+1)}{2} =dfrac{(k+2)(k+1)}{2}$

Итак, доказали что выполняется для всех натуральных n

Answer 2

1.
1) Проверяешь выполнение соотношения для начальных значений n (n=1)
2) Предполагаешь, что для n соотношение выполняется.
3) Если, используя соотношения для начальных значений и для значения n, следует, что соотношение выполняется для n+1, тогда соотношение выполняется для любых значений n.

2.
для n = 1
1 = 1(1+1)/2
1 = 1*2/2
1 = 1
предположим, что для n соотношение выполняется
тогда для n+1
1 + 2 + ... + (n+1) = 1 + 2 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = ((n+1)(n +2))/2 = ((n+1)((n+1)+1))/2
показано (используя предположение), что
1 + 2 + ... + (n+1) = ((n+1)((n+1)+1))/2
значит соотношение выполняется для любых натуральных значений n