Question

Дан треугольник ABC, I - центр вписанной окружности, O - центр описанной окружности, H - ортоцентр (точка пересечения высот), G - центроид (точка пересечения медиан). Найти IG, если известны IH, IO и HO.

Answer 1

У меня тут есть где то красивый рисунок, по которому сразу видно, почему точка G лежит на HO и делит его в пропорции OG/GH = 1/2; (теорема Эйлера). Если есть треугольник ABC, и точка A1 - "противоположная" A точка на описанной окружности (то есть AA1 - диаметр описанной окружности), то A1BHC - параллелограмм, поскольку A1C II BH - обе прямые перпендикулярны AC; то же для A1B II CH;
Поэтому, если М - середина BC, то AM является медианой не только тр-ка ABC, но и треугольника AA1H; другой медианой этого треугольника является HO; этим всё доказано.
К этой задачке это имеет косвенное отношение, скорее - это "теория". Все, что надо - это что OG/GH = 1/2;
Дан треугольник IHO; IH = p; IO = d; HO = q; надо найти x = IG; где HG = 2q/3;
дальше одна теорема косинусов. t = cos(∠IHO)
d^2 = p^2 + q^2 - 2pqt;
x^2 = p^2 + (2q/3)^2 - 2p*(2q/3)t = p^2 + 4q^2/9 + 2/3(d^2 - p^2 - q^2) = p^2/3 + 2d^2/3 - 2q^2/9;
собственно это ответ, если я нигде не напутал с цифрами.

Answer 2

Или теорема Стюарта))

Answer 3

Я ей не владею, хоть мне и стыдно признаться. Видимо я не сталкивался с задачками, для которых теорема Стюарта - необходимый инструмент. У Трэгга есть какая-то задача, которую без теоремы Стюарта не решить, но я суть задачи не помню.

Answer 4

Теорема Стюарта выводится из теоремы косинусов. Пишем примерно то, что и Вы, избавляемся от косинусов и пишем формулу для x^2, которую я помню наизусть. Это экономит кучу времени, но не более того. Поэтому сказать, что теорема Стюарта - необходимый инструмент при решении какой-то задачи, нельзя