Question

Решить:
$sqrt[3]{2+ sqrt{5} } + sqrt[3]{2- sqrt{5} }$

Answer 1

Пусть $sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}}=x$.

Возведем это равенство в куб, сгруппировав слагаемые следующим образом:

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

Получаем: $2+sqrt{5}+2-sqrt{5}+3sqrt[3]{4-5}(sqrt[3]{2+sqrt{5}}+sqrt[3]{2-sqrt{5}})=x^3;$

$4-3x=x^3; x^3+3x-4=0.$

Угадываем решение x=1 и понимаем, что благодаря монотонности левой части других решений нет (если есть сомнения, вычисляем производную, которая оказывается всюду положительной, либо, если совсем уж делать нечего, раскладываем нашу функцию в произведение $(x-1)(x^2+x+4)$, причем замечаем, что квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант).

Ответ: 1 

Answer 2

А я по другому уже решил) Умножил числитель и знаменатель на 8, а далее собрал формулу (a+b)^3. Тоже 1 получился

Answer 3

Ок)

Answer 4

∛(2+√5)+∛(2-√5)=∛((1+√5)/2)³+∛((1-√5)/2)³=(1+√5+1-√5)/2=2/2=1
Ответ: 1.
Раскрытие кубов:
((1+√5)/2)³=(1+3*1²*√5+3*1*(√5)²+(√5)³)/8=(1+3√5+15+5√5)/8=
=(16+8√5)/8=8*(2+√5)/8=2+√5.
((1-√5)/2)³=(1-3*1²*√5+3*1*(√5)²-(√5)³)/8=(1-3√5+15-5√5)/8=
=(16-8√5)/8=8*(2-√5)/8=2-√5.

Answer 5

В первой строчке в одном месте должен быть минус))