Question

Вопрос: Струна массой m колеблется с частотой v и с амплитудой A в пучности. Чему равна полная энергия колеблющейся струны?
Ответ: π2mv2A2
Нужно решение

Answer 1

Уравнение колебаний основной моды струны (длина L)

$u(x,t) =Asin(pi x/L)sin(2pinu t)$

Скорость каждой точки струны находится простым дифференцированием по времени

$v(x,t) = 2pinu Asin(pi x/L)cos(2pinu t)$

В момент прохождения струной положения равновесия вся ее энергия - кинетическая (косинус равен единице) и распределена она по струне так

$e(x) = frac{m}{L}v_text{max}^2/2 = 2frac{m}{L}A^2pi^2nu^2cos^2(pi x/L)$

Это плотность кинетической энергии - кинетическая энергия единицы длины струны. Теперь проинтегрируем по x от 0 до L

$E =2 frac{m}{L}A^2pi^2nu^2intlimits_0^Lcos^2(pi x/L)dx = mpi^2A^2nu^2$

Answer 2

спасибо большое)))