Question

Довести, що значення виразу "n3-n "завжди ділиться націло на 6. (n3 - n в 3 степени!!!)

Answer 1

Доказать, что $(n^3-n),,, vdots ,,,6$
Докажем методом мат. индукции

1) Базис индукции (n=1)
$(1^3-1),,, vdots ,,,6\ \ 0,,, vdots ,,,6$
Первое утверждение выполняется.

2) Предположим что и для n=k тоже выполняется

$(k^3-k),,, vdots ,,,6$

3) Индукционный переход (n=k+1)

$((k+1)^3-(k+1)),,, vdots ,,,6\ \ (k+1)((k+1)^2-1),,, vdots ,,,6\ \ (k+1)(k+1-1)(k+1+1),,, vdots ,,,6\ \ k(k+1)(k+2),,, vdots ,,,6\ \ (k^3+3k^2+2k),,, vdots ,,,6\ \ (k^3-k+3k^2+3k),,, vdots ,,,6\ \ bigg(underbrace{k^3-k}_big{vdots,,,6}+underbrace{3k(k+1)}_big{vdots,,,,6}bigg),,, vdots ,,,6$

Доказать, что $3k(k+1)$ делится ли на 6 можно опять же мат индукцией