Question

Помогите решить третье или седьмое однородное ду

Answer 1

Беру третий пример :)

$y=x(y'- sqrt[x]{e^y} )$

Убедимся, что данное дифференциальное уравнение является однородным.
Воспользуемся условием однородности

$lambda y=lambda x(y'- sqrt[lambda x]{e^{ylambda }} )\ \ y=x(y'- sqrt[x]{e^y} )$

Итак, данное дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$ будем иметь

$ux=x(u'x+u-e^u)\ \ u=u'x+u-e^u\ \ u'x=e^u$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$frac{du}{dx} = frac{e^u}{x} \ \ e^{-u}du= frac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$-e^{-u}=ln|x|+C$

Обратная замена

$-e^{- frac{y}{x} }=ln|x|+C$ - общий интеграл и ответ