Question

Сколько натуральных чисел из первой 1000 не делится на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Answer 1

Посчитаем сначала количество чисел , которые делятся по крайней мере на одно из чисел 2, 3, 5, 7.

Пусть $A_1$ - множество тех чисел, которые делятся на 2, $A_2$ - множество тех чисел, которые делятся на 3, $A_3$ - множество тех чисел, которые делятся на 5, $A_4$ - множество тех чисел, которые делятся на 7

Тогда

$N(A_1)=displaystyle bigg[ frac{1000}{2} bigg]=500;\ \ \ N(A_2)=bigg[ frac{1000}{3} bigg]=333;\\\ N(A_3)=bigg[ frac{1000}{5} bigg]=200;\ \ \ N(A_4)=bigg[ frac{1000}{7}bigg]= 142\ \ \ N(A_1cap A_2)=bigg[ frac{1000}{2cdot3} bigg]=166\ \ \ N(A_1cap A_3)=bigg[ frac{1000}{2cdot5}bigg]=100\ \ \ N(A_2cap A_3)=bigg[ frac{1000}{3cdot5}bigg]=66\ \ \ N(A_1cap A_4)=bigg[ frac{1000}{2cdot7}bigg]=71\ \ \ N(A_2cap A_4)=bigg[ frac{1000}{3cdot7}bigg]=47$

$displaystyle N(A_3cap A_4)=bigg[ frac{1000}{5cdot7}bigg]=28$

$displaystyle N(A_1cap A_2cap A_3cap A_4)=bigg[ frac{1000}{2cdot 3cdot 5cdot 7}bigg]=4$

$displaystyle N(A_1cap A_2cap A_3)=bigg[ frac{1000}{2cdot 3cdot 5}bigg]=33\ \ \ N(A_1cap A_2cap A_4)=bigg[ frac{1000}{2cdot 3cdot 7}bigg]=23\ \ \ N(A_1cap A_3cap A_4)=bigg[ frac{1000}{2cdot 5cdot 7}bigg]=14\ \ \ N(A_2cap A_3cap A_4)=bigg[ frac{1000}{3cdot 5cdot7}bigg]=9$

Имеем

$N(A_1cup A_2cup A_3cup A_4)=500+333+200+142-\\ \ -(166+100+66+71+47+28)+33+23+14+9+4=780$

Количество чисел, которые не делятся на 2, на 3, на 5, на 7 равен $1000-780=220$

Answer 2

Вычисления не совсем верны. Правильно будет: 500+333+200+142-166-100-66-71-7-28+33+23+14+9-4=772. И потом: 1000-772=228. Проверял через программу в компьютере

Answer 3

Может 780?