Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y''(1+sinx)-1=0

Answer 1

$y''(1+sin x)-1=0\ \ y''= frac{1}{1+sin x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$y'= intlimits {frac{1}{1+sin x} } , dx$

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $u=tg frac{x}{2}$, тогда $sin x= frac{2u}{u^2+1};,,,, cos x= frac{1-u^2}{1+u^2}$

Будем иметь

$displaystyle intlimits frac{2du}{u^2+2u+1} = intlimitsfrac{2du}{(u+1)^2} =- frac{2}{u+1} +C_1=- frac{2}{tgfrac{x}{2}+1} +C_1$

$y'=- dfrac{2}{tgfrac{x}{2}+1} +C_1$

Интегрируя снова, получаем

$displaystyle y= intlimitsbigg(- frac{2}{tgfrac{x}{2}+1} +C_1bigg)dx$

Решим интегральчик сначала)

$displaystyle - intlimits frac{2dx}{tgfrac{x}{2}+1}=bigg{v=tg frac{x}{2} bigg}=-4 intlimit frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\ \ \ =-2 intlimits frac{1-v}{v^2+1}dv -2 intlimits frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+ln|v^2+1|-2ln|v+1|+C=\\ \ =-x-2ln|tg frac{x}{2} +1|+ln frac{1}{cos^2x} +C$

Общее решение: 

$boxed{y=-x-2ln|tg frac{x}{2} +1|+ln frac{1}{cos^2x} +C_1x+C_2}$