Question

помогите решить задание по высшей математике 2-я методами

Answer 1

Метод Бернулли.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$ будем иметь

$ucdotbigg( dfrac{3v}{x-1} +v'bigg)+u'v=x-1$

1) Предположим, что первое слагаемое будет равен нулю

$dfrac{3v}{x-1} +v'=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$dfrac{dv}{v} =- dfrac{3dx}{x-1}$

Интегрируя, получаем

$ln|v|=-3cdot ln|x-1|\ \ \ v=dfrac{1}{(x-1)^3}$

2) Исходя из этого, найдем u

$u'cdot dfrac{1}{(x-1)^3} =x-1\ \ u'=(x-1)^4$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$displaystyle y= intlimits(x-1)^4dx= frac{1}{5} (x-1)^5+C$

Сделаем обратную замену

$displaystyle boxed{y=uv= frac{1}{(x-1)^3} cdotbigg(frac{1}{5} (x-1)^5+Cbigg)=frac{1}{5} (x-1)^2+ frac{C}{(x-1)^3}}$ - общее решение

Метод Лагранжа.

Для начала ищем общее решение однородного уравнения, то есть, уравнение следующего вида:
$y'+ dfrac{3y}{x-1} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$dfrac{dy}{y} =-dfrac{3}{x-1}$
Интегрируя обе части уравнения, имеем

$ln|y|=-3ln|x-1|+ln C\ \ y= dfrac{C}{(x-1)^3}$

Примем константу за функцию, то есть

$y=dfrac{C(x)}{(x-1)^3}$

И найдем ее производную 

$y'= dfrac{C'(x)(x-1)^3-3C(x)(x-1)^2}{(x-1)^6} = dfrac{C'(x)(x-1)-3C(x)}{(x-1)^4}$

И подставим в исходное уравнение

$displaystyle dfrac{C'(x)(x-1)-3C(x)}{(x-1)^4} + frac{3C(x)}{(x-1)^4} =x-1\ \ \ frac{C'(x)}{(x-1)^3} - frac{3C(x)}{(x-1)^4} + frac{3C(x)}{(x-1)^4} =x-1\ \ \ frac{C'(x)}{(x-1)^3} =x-1\ \ \ C'(x)=(x-1)^4$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$C(x)= dfrac{1}{5} (x-1)^5+C$

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет :

$boxed{y= dfrac{dfrac{1}{5} (x-1)^5+C}{(x-1)^3} = dfrac{1}{5} (x-1)^2+ dfrac{C}{(x-1)^3}}$