Question

Нужно исследовать функцию: y=x³-3x²

Помогите. Зачет, а я лох. Желательно на листике, чтобы было понятно.

Answer 1

1)Область определения функции:
$D(y)=-infty; +infty=R$
2) Определение четности/нечетности и периодичности функции:
$y(-x)=(-x)^3-3*(-x)^2=-x^3-3x^2$
Функция общего вида.
Функция непериодична.
3) Асимптоты, поведение функции на бесконечности:
Асимптот тут нет, т.к. функция обыкновенная и без дробной части.
4) Нули функции и интервалы знакопостоянства:
Точка пересечения графика с осью ординат:
$y(0)=0^3-3*0^2=0$
С осью абцисс:
$x^3-3x^2=0$
$x^2(x-3)=0$
$x^2=0$             $x-3=0$
 $x=0$                  $x=3$
 Интервалы знакопост. смотри в первом рис.                                   
5) Возрастание, убывание и экстремумы функции:
Критические точки:
$y'=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x$
$3x^2-6x=0$
$3x(x-2)=0$
$x(x-2)=0$
$x=0$              $x=2$
Интервалы промежутков смотри во втором рисунке.
На промежутках (-беск.; 0) и (2; +беск) - функция возрастает, а на (0;2) убывает.
$y(0)=0$ - максимум функции.
$y(2)=-4$ - минимум функции.
6) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
$y''=6x-6$
$6x-6=0$
$6x=6$
$x=1$
Знаки y'' смотри на 3 рисунке.
График является выпуклым на (-беск.; 1) и вогнутым на (1; +беск)
Ордината точки перегиба:
$y(1)=-2$
7) Построение графика функции.
Смотри на рисунке 4.