Question

y'+2y+4=0
помогите срочно
линейное дифферициальное уравнение первого порядка

Answer 1

1) Короткий способ.

$y'+2y+4=0; (y+2)'=-2(y+2); y+2=Ce^{-2x}; y=Ce^{-2x}-2$

2) Длинный, но стандартный способ.
Решаем как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Сначала нужно решить однородное уравнение
$y'+2y=0.$
Соответствующее характеристическое уравнение 
$t+2=0; t=-2; y=Ce^{-2x}.$ Остается угадать частное решение неоднородного уравнения 
$y'+2y=-4$. Поскольку производная константы равна нулю, частным решением будет $bar y =-2.$ 

Ответ: $y=Ce^{-2x}-2$

3) Еще один стандартный скучный способ. Уравнение можно рассматривать как уравнение с разделяющимися переменными:

$frac{dy}{dx}=-2y-4; frac{dy}{y+2}=-2, dx; intfrac{dy}{y+2}=-2int, dx; ln|y+2| =-2x+C;$

$|y+2|=e^{-2x+C}; y=pm e^Ccdot e^{-2x}-2.$

Обозначим $pm e^{C}=C_1not= 0; y=C_1cdot e^{-2x}-2.$

Заметим, что в процессе решения мы делили на y+2, при этом потеряли решение y= - 2. Его надо добавить к уже найденным решениям. Записывать это решение в ответ отдельной строкой не придется, так как оно вписывается в общее решение, если снять ограничение $C_1not= 0.$