Question

Решите уравнение:
cos2x-sinx=0

Answer 1

$cos2x-sinx=0 \\ 1-2sin^2x - sinx = 0 \\ sinx = t, t \in [-1;1]\\ -2t^2-t+1=0\\ D=1-4*(-2)*1=9\\ t_{1}= \frac{1+3}{-4}=-1\\ t_{2}= \frac{1-3}{-4}= \frac{1}{2} \\ sinx=-1 \\ x=- \frac{ \pi }{2} + 2\pi k, k \in Z\\ sinx= \frac{1}{2} \\ x=(-1)^narcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in Z\\ x=(-1)^n \frac{ \pi }{6} + \pi n, n \in Z$

Answer 2

cos2x - sinx = 0
cos²x - sin²x - sinx = 0    (косинус двойного угла)
(1-sin²x) - sin²x - sinx = 0    (cos²x = 1-sin²x  - выразили через основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1)
1 - 2sin²x - sinx = 0
-2sin²x - sinx +1 = 0  | *(-1)
2sin²x + sinx - 1 = 0
sinx = t
2t² + t -1 = 0
D = b² - 4*a*c = 1 -(-4*2*1) = 9  √D = 3
t1 = (-1+3)/4 = 1/2
t2 = (-1-3)/4 = -1

sinx = -1        (частный случай)
x = -pi/2 + 2pik, k ∈ Z

sinx = 1/2
x = $(-1)^{k}$ pi/6 + pik, k ∈ Z