Question

Составить y - общее решение соответствующего однородного уравнения и y - однородного из частных решений неоднородного уравнения по виду правой части (неизвестные коэффициенты не определять)

Answer 1

$y''-y'-2y=e^{-2x}+x^2\y''-y'-2y=0\lambda^2-lambda-2=0\lambda_{1,2}=frac{1^+_-3}{2}\lambda_1=2 lambda_2=-1\Y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}\hat{y}=hat{y}_1+hat{y}_2\hat{y}_1=Ae^{-2x}\hat{y}_2=Bx^2+Cx+D\hat{y}=Ae^{-2x}+Bx^2+Cx+D$

$y''+6y'+9y=xe^{-3x}\y''+6y'+9y=0\lambda^2+6lambda+9=0\(lambda+3)^2=0\lambda_{1,2}=-3\Y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}\hat{y}=(Ax^3+Bx^2)e^{-3x}$

$y''+4y=xe^{-x}sin2x\y''+4y=0\lambda^2+4=0\lambda^2=-4\lambda_{1,2}=^+_-2i\Y=C_1cos(2x)+C_2sin(2x)\hat{y}=(Ax+B)e^{-x}(Ccos2x+Dsin2x)$