Question

y'+y=e^(x/2) sqrt y дифференциал

Answer 1

Дифференциальное уравнение Бернулли:
$y`+y=e^frac{x}{2}y^frac{1}{2}\frac{y`}{y^frac{1}{2}}+y^frac{1}{2}=e^frac{x}{2}\\z=y^frac{1}{2}= textgreater z`=frac{y`}{2sqrt y}\frac{y`}{sqrt y}=2z`\2z`+z=e^frac{x}{2}\z=uv ;z`=u`v+v`u\2u`v+2v`u+uv=e^frac{x}{2}\2u`v+u(2v`+v)=e^frac{x}{2}\begin{cases}2v`+v=0\2u`v=e^frac{x}{2}end{cases}$
$2frac{dv}{dx}=-v\frac{dv}{v}=-frac{dx}{2}\intfrac{dv}{v}=-frac{1}{2}int dx\ln|v|=-frac{x}{2}\v=e^{-frac{x}{2}}=frac{1}{e^frac{x}{2}}\frac{2u`}{e^frac{x}{2}}=e^{frac{x}{2}}\u`=frac{e^x}{2}\u=frac{1}{2}int e^xdx=frac{e^x}{2}+C\z=uv=(frac{e^x}{2}+C)*frac{1}{e^frac{x}{2}}=frac{e^frac{x}{2}}{2}+frac{C}{e^frac{x}{2}}\z=sqrt y= textgreater y=z^2\y=(frac{e^frac{x}{2}}{2}+frac{C}{e^frac{x}{2}})^2=frac{e^x}{4}+C+frac{C^2}{e^x}\OTBET:y=frac{e^x}{4}+frac{C^2}{e^x}+C;C-const;y=0$