Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Answer 1

Найдем сначала однородное уравнение:
$y''-5y'+6y=0$
Пользуясь методом Эйлера, имеем характеристическое уравнение вида:
$k^2-5k+6=0$

Корни которого $k_1=3$ и $k_2=2$

Общее решение однородного уравнения:$y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}$

2) Найдем частное решение

Положим $f(x)=(12x-7)e^{-x}$
$alpha =-1;,,,, P_n(x)=12x-7),,,, n=1$ тогда частное решение будем искать в виде:
$widetilde{y}=(Ax+B)e^{-x}$

Найдем первую и вторую производную
$y'=-e^{-x}(Ax+B)+Ae^{-x}\ \ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B)-2Ae^{-x}$

Подставим в исходное уравнение

$Ax+B-2A-5(-(Ax+B)+A)+6(Ax+B)=12x-7\ Ax+B-2A+5Ax+5B-5A+6Ax+6B=12x-7\ 12Ax+12B-7A=12x-7$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$displaystyle left { {{12A=12} atop {12B-7A=-7}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right.$

Тогда частное решение имеет вид: $widetilde{y}=xe^{-x}$

Общее решение неоднородного уравнения: $y=y_o+widetilde{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+xe^{-x}$
$y'=3C_1e^{3x}+2C_2e^{2x}+e^{-x}-xe^{-x}$
Найдем решение задачи Коши

$displaystyle left { {{C_1+C_2=0} atop {3C_1+2C_2+1=0}} right. to left { {{C_1=-1} atop {C_2=1}} right.$

$boxed{y=-e^{3x}+e^{2x}+xe^{-x}}$