Question

Найдите наименьшее значение функции y=3x-ln(x+3)³ на отрезке [−2,5; 0].
Напишите, пожалуйста, как можно подробнее.

Answer 1

Найдите наименьшее значение функции y = 3x - ln(x+3)³ на отрезке [−2,5; 0].
------------------------------------------
ОДЗ : x+3 >0 т.е.     x ∈ ( -3 ;∞)
y = 3x - ln(x+3)³ =  3x -3*ln(x+3)  
y(-2,5) =3*(-2,5) -3Ln(-2,5+3)) = -7,5 +3Ln2
* * *  Ln(-2,5+3)= Ln(1/2) =Ln(2)⁻¹ = - Ln2  * * *
y(0) =3*(0 -Ln(0+3))  = - 3Ln3 .    * * *  1< Ln3 <2 * * *

Найдем стационарные (критические) точки :
y ' = ( 3x -3 ln(x+3) ) '  = 3*(x)' - 3*( ln(x+3) ) '=3 -  3/(x+3) =3 (x+2) / (x+3) .
y '  = 0 ;
3 (x+2) / (x+3) =0 ;
x+2 = 0 ;
x = - 2 ∈ [ -2,5 ;0]
y(-2) =3*(-2 - Ln(-2+3)  = -6 -3Ln1  = -6 +0 = - 6.
Производная функции не существует в точке x = -3, но в этой точке не определена и сама функция.
Остается из этих трех чисел { -7,5+3Ln2 ; -3Ln3 ; -6} найти наименьшее
1< Ln3  < 2  ;   - 6 < - 3ln3 < -3   .
- 6 -( -7,5 +3Ln2)  =1,5 - 3Ln2   = 1,5 (1-2Ln2)=1,5(1 - ln4) < 0   * * * e ≈2,7 * * *

ответ: - 6 . 
* * * * * * * * * * * * * * *